第十三讲                                                                                 下一讲

学时：2学时

课题：第四章 轴向拉伸与压缩

4．3 拉(压)杆横截面的应力和变形计算

目的任务：掌握横截面上的应力及拉(压)杆的变形计算

重点:横截面的应力

难点：虎克定律

教学方法：多媒体

作业：4-3

第四章 轴向拉伸与压缩

4．3 拉(压)杆横截面的应力和变形计算

4．3．1 应力（stress）的概念

    在相同的F力作用下，杆2首先破坏，而二杆各横截面上的内力是相同的，只是内力在二杆横截面上的聚集程度不一样，这说明杆件的破坏是由内力在截面上的聚集程度决定的。

    内力在截面上分布的密集程度。把内力在截面上的集度称为应力，其中垂直于杆横截面的应力称为正应力，平行于横截面的应力称为切应力。

应力：内力所在截面单位面积上的内力。

平均应力=△F/△A

s——正应力（normal stress）

t——切应力（shearing stress）

应力的单位：力的单位/面积的单位             1N/m²=1Pa（帕）

常用1N/mm²=1MPa（兆帕）=10⁶N/m²=10⁶Pa（帕）

  常采用N、mm、MPa的计量单位           

4．3．2 拉(压)杆横截面上的应力

观察杆件变形：

外力F使杆件拉伸。可以看到横向线平行向外移动并与轴线保持垂直。

变形现象：

各条横向线都作了相对的平移；

任意两条横向线之间的纵向线伸长均相同。

平面假设：

    变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，仅仅沿轴线方向平移一个段距离。也就是杆件在变形过程中横截面始终为平面。

实质：发生均匀的伸长变形

    根据材料均匀性假设，设想杆件是由无数纵向纤维所组成，任一横截面处轴线方向均匀伸长，横截面上的分布内力（轴力）也应均匀，且方向垂直于横截面。

横截面存在正应力s

正应力s的符号规定与F_N一致。 拉应力为“正”；压应力为“负”。

式中， F_N表示横截面轴力（N）； A表示横截面面积（mm²）。

应力计算Simple Stress Calculations:

正方形截面杆（square section bar）

例题：斜杆AB为直径d=20mm的钢杆，载荷Q=15kN。求此时斜杆AB横截面上的正应力。

解：BC杆受力分析

∑M_C=0，   F_ABsina (1.9)-Q*1.4=0    

 F_AB=1.4Q/(1.9sina)

又              sina=0.8/(0.8²+1.9²)^0.5=0.388

斜杆的内力（轴力）为F_N=F_AB=28.5kN

由此得出AB杆横截面上的应力为

s=F_N/A=(28.5*1000)*4/p20²=90.76N/mm²=90.76MPa

4．3．3拉(压)杆的变形Deformation

轴向变形——拉(压)杆的纵向伸长(或缩短)量，用△L表示；

△L=L₁- L     拉伸时为“正”；压缩时为“负”。

横向变形——横向缩短(或伸长)量，用△d 表示。

△d =d₁- d         拉伸时为“负”；压缩时为“正”。

绝对变形——△L、 △d 。

2．相对变形

    绝对变形与杆件的原长有关，不能准确反映杆件变形的程度，消除杆长的影响，得到单位长度的变形量。

相对变形——单位长度的变形量

e和e' 都是无量纲量，又称为线应变Strain。

e——轴向线应变，e'——横向线应变。

3．横向变形系数m

    实验表明，当应力不超过某一限度时，其横向线应变e与轴向线应变e'的比值为一常数，记作m，称为横向变形系数或泊松比（Simon Poisson）。

几种常用工程材料的m值见表

4．3．4虎克定律Robert Hooke

虎克定律——对拉(压)杆，当应力不超过某一限度（在弹性范围内）时，杆的轴向变形△L与轴力F_N成正比，与杆长L成正比，与横截面面积A成反比。(反映了力与变形之间的物理关系)

引入比例常数E ，其公式为

E——材料的拉(压)弹性模量，

    由于轴力、杆长、截面面积相同的等直杆，E值越大，△L就越小，所以E值代表了材料抵抗拉(压)变形的能力，是衡量材料刚度的指标。

量纲为[力]/[长度]²，其单位是GPa，1MPa＝10⁶Pa，1GPa＝10⁹Pa

各种材料的弹性模量E是由实验测定的。几种常用材料的E值见表。

EA——由于拉(压)杆的横截面积A和材料弹性模量E的乘积与杆件的变形成反比，EA值越大，△L就越小，拉(压)杆抵抗变形的能力就越强，所以，EA值表征杆件抵抗轴向拉压变形的能力，称为杆件的抗拉(压)刚度。