第五讲                                                                                  下一讲

学时：2学时

课题：第二章 平面力系 2.2 力矩与平面力偶系 

目的任务：掌握力矩的概念和合力矩定理，掌握力偶的概念、性质、力偶系的合成与平衡

重点:力矩及力偶的概念 力偶系的合成与平衡

难点：力矩及力偶的概念 

作业：题2-1、题2-2

2.2 力矩与平面力偶系 

  2.2.1 力对点之矩 (简称为力矩)

  1.力对点之矩的概念

  为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。

  力对点之矩用M_O（F）来表示，即

Mo(F) = ± Fd

    一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。

Mo(F) = ± 2△OAB

    力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。矩心不同，力矩不同。

    规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。

    力矩的单位是Nmm。

    由力矩的定义可知： 

（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。

（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。

  力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。

    2.合力矩定理 

设在物体上A点作用有平面汇交力系F₁、F₂、---F_n，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。

    计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则

---

由上图可以看出，合力F对O点的矩为

据合力投影定理，有

两边同乘以l，得

F_yl=F_1yl+F_2yl+---+F_nyl

即

M_o(F)=M_o(F₁)+M_o(F₂)+---+M_o(F_n)

合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。

3.力对点之矩的求法(力矩的求法)

（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。 注意：力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。 

 例2-3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为α，又知OB=l，BC=h，求力F对O点的力矩。

解 （1）利用力矩的定义进行求解

    如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段oa 。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有

（2）利用合力矩定理求解

    将力F分解成一对正交的分力

力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即

2.2.2力偶及其性质 

1.力偶的定义

    在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等。

力偶——大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力，如图中的力F与F'构成一力偶。记作

(F，F')

力偶作用面——两个力所在的平面

力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离d

力偶的转向——力偶使物体转动的方向

力偶只能使物体转动或改变转动状态。怎样度量？

力使物体转动的效应，用力对点的矩度量。

    设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F，F')，该力偶对任一点O的矩为

M_O(F)+M_O(F')=F(x+d)-F'x=Fd

由于点O是任意选取的，故

力偶对作用面内任一点的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘积

（与矩心位置无关）

力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘积，记作M(F,F')或M

M(F,F')=±Fd

    规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。力偶矩的单位是Nmm。

    力偶同力矩一样，是一代数量。Mo(F) = ± Fd

   力偶的三要素——大小、转向和作用平面

    2.力偶的性质

    （1）力偶无合力。         

    力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。

    （2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。

    （3）力偶的等效性

力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。

    力偶的等效条件：

    1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。经验：

不论将力偶加在A、B位置还是C、D位置，对方向盘的作用效应不变。

    2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。经验：

2.2.3平面力偶系的合成与平衡

平面力偶系——作用在刚体上同一平面内的多个力偶。

1.平面力偶系的合成

  例  两个力偶的合成

2.平面力偶系的平衡

平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于零，

例2-4 梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。

解 （1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图

    F_A必须与F_B大小相等、方向相反、作用线平行。

   （2）列平衡方程

   

例2-5 电机轴通过联轴器与工件相连接，联轴器上四个螺栓A、B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上，见图2-2-6，此圆周的直径d=150mm ，电机轴传给联轴器的力偶矩M=25kNm，求每个螺栓所受的力。

解 以联轴器为研究对象。

作用于联轴器上的力有电动机传给联轴器的力偶矩M，四个螺栓的约束反力，假设四个螺栓的受力均匀，则F₁=F₂=F₃=F₄=F，其方向如图所示。由平面力偶系平衡条件可知，F₁与F₃ 、F₂与F₄组成两个力偶，并与电动机传给联轴器的力偶矩M平衡。据平面力偶系的平衡方程