第六讲                                                                                   下一讲

学时:2学时

课题:第二章 平面力系 2.3 平面一般力系

目的任务:理解力的平移定理及平面一般力系的简化与平衡条件

重点:平面一般力系的平衡条件

难点:平面一般力系的简化

作业:题2-3

 2.3 平面一般力系

平面一般力系——作用在物体上的各力作用线都在同一平面内,既不相交于一点又不完全平行

上图起重机横梁AB受平面一般力系的作用

2.3.1平面一般力系的简化

1.力的平移定理

力的可传性——作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动,而不改变其对刚体的作用效应。

问题:如果将力平移到刚体内另一位置?

将作用在刚体上A点的力F平移动到刚体内任意一点O

 

附加力偶,其力偶矩为

M(F,F'')=±Fd=Mo(F)

上式表示,附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。于是,在作用于刚体上平移点的力F′和附加力偶M的共同作用下,其作用效应就与力F作用在A点时等效。

力的平移定理——作用于刚体上的力,可平移到刚体上的任意一点,但必须附加一力偶,其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。

根据力的平移定理,可以将力分解为一个力和一个力偶;也可以将一个力和一个力偶合成为一个力。

2.平面一般力系向平面内任意一点的简化

          F'R——平面一般力系的主矢,其作用线过简化中心点O

     α——主矢与x轴的夹角

   Mo——平面一般力系的主矩

    主矩=各附加力偶矩的代数和。

(由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩,所以主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和,作用在力系所在的平面上。)

   Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)

平面一般力系向平面内一点简化,得到一个主矢 F'R 和一个主矩Mo

    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方,作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。

    主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和,其值一般与简化中心的选择有关。

3. 简化结果分析 

    平面一般力系向平面内任一点简化,得到一个主矢F'R和一个主矩Mo,但这不是力系简化的最终结果,如果进一步分析简化结果,则有下列情况:

F'R =0,Mo≠0

F'R 0,Mo=0

F'R 0,Mo≠0

F'R =0,Mo=0(力系平衡)

 

    (1)F'R 0,Mo≠0,原力系简化为一个力和一个力偶。据力的平移定理,这个力和力偶还可以继续合成为一个合力FR,其作用线离O点的距离为d=Mo/F'R

    (2)F'R 0,Mo=0,原力系简化为一个力。主矢F'R 即为原力系的合力FR,作用于简化中心。

   (3)F'R =0,Mo≠0,原力系简化为一个力偶,其矩等于原力系对简化中心的主矩。主矩与简化中心的位置无关。因为力偶对任一点的矩恒等于力偶矩,与矩心位置无关。

    (4)F'R =0,Mo=0,原力系是平衡力系。

2.3.2 平面一般力系的平衡 

1.平面一般力系的平衡条件

平面一般力系平衡的必要与充分条件为:F'R =0,Mo=0                      

平面一般力系的平衡方程为

——可求解出三个未知量

2.平面平行力系的平衡条件

平面平行力系的平衡方程为

平面平行力系的平衡方程,也可用两个力矩方程的形式,即

——式中A、B两点连线不能与各力的作用线平行

平面平行力系只有两个独立的平衡方程,因此只能求出两个未知量。

例2-6 塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力G=500kN,重心在C点,与右轨相距a=1.5m。最大起吊重量P=250kN,与右轨B最远距离l=10m。平衡物重力为G1,与左轨A相距x=6m,二轨相距b=3m。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物G1的范围。

解:取起重机为研究对象。是一平面平行力系

    1)要保障满载时机身平衡而不向右翻倒,则这些力必须满足平衡方程,在此状态下,A点将处于离地与不离地的临界状态,即有FNA=0。这样求出的G1值是它应有的最小值。

平衡方程:

∑Fy =0                               -G1min-G-P+FNB=0

∑MB(F)=0                                                   G1min(x+b)-Ga-Pl=0     

         

    2)要保障空载时机身平衡而不向左翻倒,则这些力必须满足平衡方程,在此状态下,B点将处于离地与不离地的临界状态,即有FNB=0。这样求出的G1值是它应有的最大值。

          

因此,平衡重力G1之值的范围为

 

3.物体系统的平衡条件

物系——由多个构件通过一定的约束组成的系统。

    若整个物系处于平衡时,那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。因此在求解有关物系的平衡问题时,既可以以整个系统为研究对象,也可以取单个构件为研究对象。对于每一种选取的研究对象,一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。3n

物系外力——系统外部物体对系统的作用力

物系内力——系统内部各构件之间的相互作用力

物系的外力和内力只是一个相对的概念,它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时,由于其内力总是成对出现、相互抵消,因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时,系统内其它构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力,必须予以考虑。

例2-7 如图所示,为一三铰拱桥。左右两半拱通过铰链C联接起来,通过铰链A、B与桥基联接。已知G=40kN,P=10kN。试求铰链A、B、C三处的约束反力。

解 (1)取整体为研究对象画出受力图,并建立如图2-3-6b所示坐标系。列解平衡方程

                           

                             

(2)取左半拱为研究对象画出受力图,并建立如图所示坐标系。列解平衡方程

                          

                                  

                            

(3)取整体为研究对象。列解平衡方程

                                 

    解平面力系平衡问题的方法和步骤:

 ①明确题意,正确选择研究对象。

②分析研究对象的受力情况,画出受力图。这是解题的关键一步,尤其在处理物系平衡问题时,每确定一个研究对象就必须单独画出它的受力图,不能将几个研究对象的受力图都画在一起,以免混淆。另外,还要注意作用力、反作用力,外力、内力的区别。在受力图上内力不画出。

③建立坐标系。建立坐标系的原则应使每个方程中的未知量越少越好,最好每个方程中只有一个未知量。

④列解平衡方程,求未知量。在计算结果中,负号表示预先假设力的指向与实际指向相反。在运算中应连同符号一起代入其它方程中继续求解。

⑤讨论并校核计算结果。