第九讲                                                                                  下一讲

学时：2学时

课题：第三章 空间力系  3.1力的投影和力对轴之矩  3.2空间力系的平衡

目的任务：理解力的投影和力对轴之矩、掌握空间力系的平衡条件

重点:空间力系的平衡条件

难点：力对轴之矩

作业：题3-1、题3-2

第三章 空间力系

空间力系——各力的作用线不在同一平面内的力系。

3.1.1力在空间直角坐标轴上的投影 

1.一次投影法

    设空间直角坐标系的三个坐标轴如图所示，已知力F与三个坐标轴所夹的锐角分别为a、b、g,则力F在三个轴上的投影等于力的大小乘以该夹角的余弦，即

2.二次投影法 

    有些时候，需要求某力在坐标轴上的投影，但没有直接给出这个力与坐标轴的夹角，而必须改用二次投影法。

    如图所示，若已知力F与z轴的夹角为g ，力F和z轴所确定的平面与x轴的夹角为j，可先将力F在oxy平面上投影，然后再向x、y轴进行投影。则力在三个坐标轴上的投影分别为

    反过来，若已知力在三个坐标轴上的投影Fx、Fy、Fz，也可求出力的大小和方向，即

例3-1 斜齿圆柱齿轮上A点受到啮合力F_n的作用，F_n沿齿廓在接触处的法线方向，如图所示。a_n 为压力角，β为斜齿轮的螺旋角。试计算圆周力F_t、径向力F_r、轴向力F_a的大小。

解 建立图示直角坐标系Axyz,先将法向力F_n向平面Axy投影得F_xy，其大小为

F_xy=F_ncosa_n 

向z轴投影得径向力

F_r=F_nsina_n 

然后再将F_xy向x、y轴上投影，如图所示。因q =β，得

圆周力                                F_t=F_xycosβ=F_ncosa_ncosβ

轴向力                                F_a=F_xysinβ=F_ncosa_nsinβ

3.1.2力对轴之矩

  在平面力系中，建立了力对点之矩的概念。力对点的矩，实际上是力对通过矩心且垂直于平面的轴的矩。

    以推门为例，如图所示。门上作用一力F，使其绕固定轴z转动。现将力F分解为平行于z轴的分力Fz和垂直于z轴的分力F_xy（此分力的大小即为力F在垂直于z轴的平面A上的投影）。由经验可知，分力F_z不能使静止的门绕z轴转动，所以分力F_z对z轴之矩为零；只有分力F_xy才能使静止的门绕z轴转动，即F_xy对z轴之矩就是力F对z轴之矩。现用符号Mz（F）表示力F对z轴之矩，点O为平面A与z轴的交点，d为点O到力Fxy 作用线的距离。因此力F对z轴之矩为

    上式表明：力对轴之矩等于这个力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与平面交点之矩。力对轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度量，是一个代数量。其正负号可按下法确定：从z轴正端来看，若力矩逆时针，规定为正，反之为负。

    力对轴之矩等于零的情况：（1）当力与轴相交时（此时d=0）；（2）当力与轴平行时。

3.1.3合力矩定理

    如一空间力系由F₁、F₂、…、F_n组成，其合力为F_R，则可证明合力F_R对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。写为

题3-1 在如图所示边长a=12cm,b=16cm,c=10cm的六面体上，作用力F₁=2kN, F₂=2kN,F₃=4kN,试计算各力在坐标轴上的投影。

题3-2 图示力F=1000N，求F对z轴的矩Mz。