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第六章 圆轴扭转 |
6.1 圆轴扭转的概念
扭转变形Torsion
轴Shaft ——发生扭转变形的杆件。
圆轴扭转 Torsional Loads on Circular Shafts
工程背景Background:
力学模型 model
扭转变形 的特点:
1)受力特点 在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等,方向相反的外力偶。
2)变形特点 横截面绕轴线发生相对转动,出现扭转变形。
6.2 扭矩和扭矩图
首先计算作用于轴上的外力偶矩,再分析圆轴横截面的内力,然后计算轴的应力和变形,最后进行轴的强度及刚度计算。
6.2.1外力偶矩的计算
式中, M e 为外力偶矩 Torque ( N·mm );
P Power 为功率( kW );
n为转速 Rotational velocity ( r/min )。
主动轮的输入功率所产生的力偶矩转向与轴的转向相同;
从动轮的输出功率所产生的力偶矩转向与轴的转向相反。
6.2.2圆轴扭转时的内力——扭矩torque
截面法求横截面的内力
规定扭矩的正负(右手螺旋法则):
以右手手心对着轴,四指沿扭矩的方向屈起,拇指的方向离开截面,扭矩为正,反之为负。
6.2.3扭矩图
例 输入一个不变转矩Me1 ,不计摩擦,轴输出的阻力矩为Me2 =2Me1 /3,Me3 =Me1 /3,外力偶矩Me1 、Me2 、Me3 将轴
分为AB和BC两段,应用截面法可求出各段横截面的扭矩。
扭矩图 —— 用平行于杆轴线的 x 坐标表示横截面的位置,用垂直于 x 轴的坐标 M T 表示横截面扭矩的大小,描画出截面扭矩随截面位置变化的曲线。
6.3 圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算
6.3.1圆轴扭转时横截面上的应力
应力与变形有关,观察变形:Torsion Shaft Deformation
在小变形的情况下:
(1)各圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离均无变化;各圆周线绕轴线转动了不同的角度。
(2)所有纵向线仍近似地为直线,只是同时倾斜了同一角度 g 。
扭转变形的平面假设:圆轴扭转时,横截面保持平面,并且只在原地发生刚性转动。
在平面假设的基础上,扭转变形可以看作是各横截面像刚性平面一样,绕轴线作相对转动,由此可以得出:
(1)扭转变形时,由于圆轴相邻横截面间的距离不变,即圆轴没有纵向变形发生,所以横截面上没有正应力。
(2)扭转变形时,各纵向线同时倾斜了相同的角度;各横截面绕轴线转动了不同的角度,相邻截面产生了相对转动并相互错动,发生了剪切变形,所以横截面上有切应力。
根据静力平衡条件,推导出截面上任一点的切应力计算公式
式中, t r 为横截面上任一点的切应力( MPa ); M T 为横截面上的扭矩( N mm ); r 为欲求应力的点到圆心的距离( mm ); I r 为截面对圆心的极惯性矩( mm 4 )。
圆轴扭转时,横截面边缘上各点的切应力最大( r= R ),其值为
式中,Wp 为抗扭截面系数( mm 3 )
极惯性矩与抗扭截面系数表示了截面的几何性质,其大小与截面的形状和尺寸有关。
(1) 实心轴Solid Shaft 设直径为D,则
(2)空心轴Hollow Shaft 设外径为 D ,内径为 d , a = d / D
6.3.2圆轴扭转时的强度计算
对于阶梯轴,因为抗扭截面系数 W p 不是常量,最大工作应力 t max 不一定发生在最大扭矩M Tmax 所在的截面上。要综合考虑扭矩M T 和抗扭截面系数W p ,按这两个因素来确定最大切应力 t max 。
6.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算
6.4.1圆轴扭转时的变形 Torsion Shaft Deformation
扭角Angle of Twist ——圆轴扭转时,任意两横截面产生的相对角位移。
扭角 f 是扭转变形的变形度量。
两横截面相距越远,它的扭角就越大。
等直圆轴的扭角 f 的大小与扭矩M T及轴的长度L成正比,与横截面的极惯性矩I p 成反比,引入比例常数G
f为扭角(rad); G为材料的切变模量(GPa)。
当扭矩M T及杆长L一定时,GI p越大,扭角f就越小, GI p 反映了圆轴抵抗扭转变形的能力,称为轴的抗扭刚度。如果两截面之间的扭矩值 有变化,或轴径不同,则应分段计算出相应各段的扭角,然后叠加。
6.4.2扭转时的刚度计算
等直圆轴的刚度条件:最大单位长度扭角小于或等于许用单位长度扭角。
应用扭转强度条件:校核强度、设计截面和确定许可载荷。
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