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10.7 变位齿轮传动

10.7.1 变位齿轮概述
    前面讨论的都是渐开线标准齿轮，它们设计计算简单，互换性好。但标准齿轮传动仍存在着一些局限性：（1）受根切限制，齿数不得少于Zmin，使传动结构不够紧凑；（2）不适合于安装中心距a'不等于标准中心距a的场合。当a'<a时无法安装，当a'>a时，虽然可以安装，但会产生过大的侧隙而引起冲击振动，影响传动的平稳性；（3）一对标准齿轮传动时，小齿轮的齿根厚度小而啮合次数又较多，故小齿轮的强度较低，齿根部分磨损也较严重，因此小齿轮容易损坏，同时也限制了大齿轮的承载能力。

（齿条刀可用鼠标移动加工变位齿轮）

（滑移齿轮可用鼠标移动）

    为了改善齿轮传动的性能，出现了变位齿轮。如图所示，当齿条插刀齿顶线超过极限啮合点N1，切出来的齿轮发生根切。若将齿条插刀远离轮心O1一段距离（xm），齿顶线不再超过极限点N1，则切出来的齿轮不会发生根切，但此时齿条的分度线与齿轮的分度圆不再相切。这种改变刀具与齿坯相对位置后切制出来的齿轮称为变位齿轮，刀具移动的距离xm称为变位量，x称为变位系数。刀具远离轮心的变位称为正变位，此时x>0；刀具移近轮心的变位称为负变位，此时x<0。标准齿轮就是变位系数x=0的齿轮。

（齿条刀可用鼠标移动）

10.7.2 最小变位系数

ha*m-xm≤N1E

N1E=CN1sinα=rsin2α=mz/2sin2α
式中z为被切齿轮的齿数。联立以上二式得

x≥ha*-z/2sin2α

由式  zmin=2ha*/sin2α，

x≥ha*(zmin-z)/zmin
由此可得最小变位系数为

xmin=ha*(zmin-z)/zmin
当ha*=1, α=200时，

xmin=(17-z)/17

10.7.3 变位齿轮的几何尺寸和传动类型

1. 变位齿轮的几何尺寸

    变位齿轮的齿数、模数、压力角与标准齿轮相同，所以分度圆直径、基圆直径和齿距也都相同，但变位齿轮的齿厚、齿顶圆、齿根圆等都发生了变化，具体的尺寸计算公式列于表中。

外啮合变位直齿轮基本尺寸的计算公式

名称

符号

计 算 公 式
分度圆直径 d d = mz
齿厚 s s = m(π/2 + 2xtgα)
啮合角 α' invα'= invα+2tgα(x1+x2)/(z1+z2) 或cosα'=a/a'cosα
节圆直径 d' d'= dcosα/cosα'
中心距变动系数 y
齿高变动系数 σ σ= x1+x2-y
齿顶高 ha ha=(ha*+x-σ)m
齿根高 hf hf=(ha*+c*-x)m
齿全高 h h=(2ha*+c*-σ)m
齿顶圆直径 da da=d+2ha
齿根圆直径 df df=d-2hf
中心距 a' a'=(d1'+d2')/2
公法线长度 Wk  Wk = mcosα[(k-0.5)π+ zinvα]+2xmsinα

    分度圆齿厚、齿槽宽和公法线长度的计算

s = m(π/2 + 2xtgα)  

e = m(π/2 –2xtgα)

Wk = mcosα[(k-0.5)π+ zinvα]+2xmsinα

k=αmz/1800+0.5

αm-----半径为rm=r+xm的圆周上的压力角。 

    啮合角α'与总变位系数x1+x2的关系

invα'=2tgα(x1+x2)/(z1+z2) + invα

    中心距与啮合角的关系；中心距变动系数y的计算

    顶隙为：

    σ称为齿顶高变动系数。

    齿高、齿顶圆和齿根圆的计算

2. 变位齿轮传动的类型

    根据变位系数之和的不同值，变位齿轮传动可分为三种类型，标准齿轮传动可看作是零传动的特例。表中列出了各类齿轮传动的性能与特点。

传动类型 高度变位传动又称零传动

角度变位传动

正传动

负传动

齿数条件

 z1+z2≥2Zmin

 z1+z2 < 2zmin

  z1+z2 > 2zmin

变位系数要求

 x1+x2=0, x1=-x2≠0

 x1+x2 > 0

  x1+x2 < 0

传动特点

  a'=a, α'=α, y=0

 a'>a, α'>α, y>0

   a'<a, α'<α, y<0

主要优点

   小齿轮取正变位，允许z1<zmin，减小传动尺寸。提高了小齿轮齿根强度，减小了小齿轮齿面磨损，可成对替换标准齿轮。

    传动机构更加紧凑，提高了抗弯强度和接触强度，提高了耐磨性能，可满足a'>a的中心距要求。

     重合度略有提高，满足 a'<a的中心距要求。

主要缺点

   互换性差，小齿轮齿顶易变尖，重合度略又下降。

     互换性差，齿顶变尖，重合度下降较多。

     互换性差，抗弯强度和接触强度下降，轮齿磨损加剧。

3. 变位齿轮传动的设计步骤
    设计变位齿轮时，根据不同的已知条件，可采用不同的设计步骤。
（1）已知z1、z2、m、α、ha*和c*时，其设计步骤为：

1）选择传动类型，若z1+z2 < 2zmin，必须采用正传动，否则可考虑其它传动类型；

2）选择两齿轮的变位系数；

3）计算两齿轮的几何尺寸；

4）验算重合度及轮齿强度。

（2）已知z1、z2、m、a'、α、ha*和c*时，其设计步骤为：

1）计算啮合角α'

                 cosα'=（a/a')cosα

2）选择两齿轮的变位系数

invα'=2tgα(x1+x2)/(z1+z2) + invα

x1+x2=(z1+z2)(invα'-invα)/2tgα

x1≥ha*(zmin-z)/zmin，x2≥ha*(zmin-z)/zmin

3）计算两齿轮的几何尺寸 

4）验算重合度及轮齿强度

（3）已知i、m、a'、α、ha*和c*时，其设计步骤为：

     1）确定两齿轮的齿数

    因 a'=acosα/cosα'=[m(z1+z2)/2]cosα/cosα'=[mz1(1+i)/2]cosα/cosα' 故z1≈2a'/(i+1)m  取整数，

     z2=iz1  取整数。

思考题：

1)某机器中的一对外啮合标准圆柱直齿轮，小齿轮轮齿严重磨损，拟报废，大齿轮轮齿磨损较轻，拟修复。试问采用什么方法可使传动能恢复使用？

2）图示为一单联滑移齿轮机构，已知基本参数为m=3mm,z1=18,z2=30,z3=27。试问有几种设计方案？哪种方案较好？

3）吊车行走机构中有一对标准直齿轮传动，已知z1=13,z2=47,m=3mm,齿轮1因根切经常断齿。试问采用什么方案来解决这个问题？

例 用齿条插刀加工一个直齿圆柱齿轮。已知被加工齿轮轮坯的角速度ω1=5 rad/s，刀具的移动速度为0.375m/s，刀具的模数m=10mm，压力角α=200。

1）求被加工齿轮的齿数z1；

2）若齿条分度线与被加工齿轮中心的距离为77mm,求被加工齿轮的分度圆齿厚；

3）若已知该齿轮与大齿轮2相啮合时的传动比i12=4，无侧隙准确安装时的中心距a'=377mm，求这两个齿轮的节圆半径r1'、r2'及啮合角α'。

解：（1）齿条插刀加工齿轮时，被加工齿轮的节圆与其分度圆重合，且与刀具的节线作展成运动，则有

       r1ω1=V刀    而r1=mz1/2

      故得   z1=2V刀/mω1=2*375/(10*5)=15

    （2）因刀具安装的距离（L=77mm）大于被加工齿轮的分度圆半径（r1=mz1/2=75mm），被加工齿轮为正变位，其变位量为

      xm=L-r1=77-75=2mm             x=xm/m=2/10=0.2

     故被加工齿轮的分度圆齿厚为

          s=(π/2 + 2xtgα)m=(π/2 + 2*0.2*tg200)*10=17.164mm

    （3）由两齿轮的传动比i12和实际中心距a'可知

           z2=i12z1=4*15=60    i12=ω1/ω2=r2'/r1'=4                  

             r2'=4r1'

            r1'+r2'=a'=377mm

          联立求解上面可得r1'=75.4mm，r2'=301.6mm

         两齿轮的标准中心距为

          a=m(z1+z2)/2=10*(15+60)/2=375mm

         由cosα'=acosα/a'=375cos200/377=0.93471

            α'=20.8190