第十六讲                                                                                 下一讲

学时：2学时

课题：第六章 圆轴扭转

目的任务：建立圆轴扭转的概念，掌握扭矩和扭矩图

重点:扭矩图

难点：扭转的概念

教学方法：多媒体

作业：6-1

第六章 圆轴扭转 

扭转变形Torsion

轴Shaft——发生扭转变形的杆件。

圆轴扭转Torsional Loads on Circular Shafts

6．1 圆轴扭转的概念

工程背景Background：

力学模型model

扭转变形的特点：

1)受力特点 在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。

2)变形特点 横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。

6．2 扭矩和扭矩图

    首先计算作用于轴上的外力偶矩，再分析圆轴横截面的内力，然后计算轴的应力和变形，最后进行轴的强度及刚度计算。

6．2．1外力偶矩的计算

式中，M_e为外力偶矩Torque（N·mm）；

      PPower为功率（kW）；

      n为转速Rotational velocity（r／min）。

主动轮的输入功率所产生的力偶矩转向与轴的转向相同；

从动轮的输出功率所产生的力偶矩转向与轴的转向相反。

6．2．2圆轴扭转时的内力——扭矩torque

截面法求横截面的内力

规定扭矩的正负（右手螺旋法则）：

以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离开截面，扭矩为正，反之为负。

注意：“正”“负”不是计算出来的。

6．2．3扭矩图

例 输入一个不变转矩M_e1，不计摩擦，轴输出的阻力矩为

M_e2＝2M_e1／3，M_e3＝M_e1／3，外力偶矩M_e1、M_e2、M_e3将轴

分为AB和BC两段，应用截面法可求出各段横截面的扭矩。

扭矩图——用平行于杆轴线的x坐标表示横截面的位置，用垂直于x轴的坐标M_T表示横截面扭矩的大小，描画出截面扭矩随截面位置变化的曲线。

例6-1 转动轴如图所示，转速n=300rpm，主动轮A输入功率P_A=22.1kW，从动轮B、C输出功率分别为P_B=14.8kW，P_C=7.3kW。试求：1） 作用在轴上的外力偶矩；2） 横截面上的扭矩。

解：1） 求作用在轴上的外力偶矩

2） 计算横截面上的扭矩

作扭矩图

6．3 圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算

6．3．1圆轴扭转时横截面上的应力

应力与变形有关，观察变形：

在小变形的情况下：

（1)各圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离均无变化；各圆周线绕轴线转动了不同的角度。

（2）所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜了同一角度g 。

扭转变形的平面假设：圆轴扭转时，横截面保持平面，并且只在原地发生刚性转动。

在平面假设的基础上，扭转变形可以看作是各横截面像刚性平面一样，绕轴线作相对转动，由此可以得出：

（1）扭转变形时，由于圆轴相邻横截面间的距离不变，即圆轴没有纵向变形发生，所以横截面上没有正应力。

（2）扭转变形时，各纵向线同时倾斜了相同的角度；各横截面绕轴线转动了不同的角度，相邻截面产生了相对转动并相互错动，发生了剪切变形，所以横截面上有切应力。

根据静力平衡条件，推导出截面上任一点的切应力计算公式

式中，t_r为横截面上任一点的切应力（MPa ）；M_T 为横截面上的扭矩（N mm ）； r为为欲求应力的点到圆心的距离（mm ）；I_r 为截面对圆心的极惯性矩（mm⁴）。 

圆轴扭转时，横截面边缘上各点的切应力最大(r=R )，其值为

式中，Wp为抗扭截面系数（mm3）

极惯性矩与抗扭截面系数表示了截面的几何性质，其大小与截面的形状和尺寸有关

(1) 实心轴 设直径为D，则

(2)空心轴 设外径为D，内径为d，a=d/D

例6-1 某一传动轴所传递的功率P=80kW，其转速n=582r/min ，直径d=55mm ，材料的许用切应力[t]=50MPa，试校核该轴的强度。

解 （1）计算外力偶矩

（2）计算扭矩。该轴可认为是在其两端面上受一对平衡的外力偶矩作用，由截面法得

M_T=M_e=1312700N mm

（3）校核强度

所以，轴的强度满足要求。