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第十七讲 下一讲 学时：2学时 课题：第六章 圆轴扭转6．3 圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算 6．4 圆轴扭转时的变形和刚度计算 目的任务：掌握圆轴扭转时横截面上的应力和变形、掌握强度条件和刚度条件及其应用 重点:圆轴扭转时横截面上的应力 难点：圆轴扭转时横截面上的变形 教学方法：多媒体 作业：6-2、6-3、6-4 第六章 圆轴扭转 review
6．3 圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算 6．3．1圆轴扭转时横截面上的应力
应力与变形有关，观察变形：Torsion Shaft Deformation
在小变形的情况下： （1)各圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离均无变化；各圆周线绕轴线转动了不同的角度。 （2）所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜了同一角度g 。 扭转变形的平面假设：圆轴扭转时，横截面保持平面，并且只在原地发生刚性转动。 在平面假设的基础上，扭转变形可以看作是各横截面像刚性平面一样，绕轴线作相对转动，由此可以得出： （1)扭转变形时，由于圆轴相邻横截面间的距离不变，即圆轴没有纵向变形发生，所以横截面上没有正应力。 （2）扭转变形时，各纵向线同时倾斜了相同的角度；各横截面绕轴线转动了不同的角度，相邻截面产生了相对转动并相互错动，发生了剪切变形，所以横截面上有切应力。
Hooke's law 根据静力平衡条件，推导出截面上任一点的切应力计算公式
式中，tr为横截面上任一点的切应力（MPa ）；MT 为横截面上的扭矩（N mm ）； r为欲求应力的点到圆心的距离（mm ）；Ir 为截面对圆心的极惯性矩（mm4）。 圆轴扭转时，横截面边缘上各点的切应力最大(r=R )，其值为
式中，Wp为抗扭截面系数（mm3） 极惯性矩与抗扭截面系数表示了截面的几何性质，其大小与截面的形状和尺寸有关。 (1) 实心轴Solid Shaft 设直径为D，
(2)空心轴Hollow Shaft 设外径为D，内径为d，a=d/D
6．3．2圆轴扭转时的强度计算
对于阶梯轴，因为抗扭截面系数Wp不是常量，最大工作应力tmax不一定发生在最大扭矩MTmax 所在的截面上。要综合考虑扭矩MT 和抗扭截面系数Wp，按这两个因素来确定最大切应力tmax。 塑性材料： [t]=(0.5~0.6) [sl] 脆性材料： [t]=(0.8~1.0) [sl] Sample Problem 例6-1 某一传动轴所传递的功率P=80kW，其转速n=582r/min ，直径d=55mm ，材料的许用切应力[t]=50MPa，试校核该轴的强度。 解 （1）计算外力偶矩
（2）计算扭矩。该轴可认为是在其两端面上受一对平衡的外力偶矩作用，由截面法得 MT=Me=1312700N mm （3）校核强度
所以，轴的强度满足要求。 6．4 圆轴扭转时的变形和刚度计算 6．4．1圆轴扭转时的变形Torsion Shaft Deformation 扭角Angle of Twist——圆轴扭转时，任意两横截面产生的相对角位移。 扭角f是扭转变形的变形度量。
两横截面相距越远，它的扭角就越大。 等直圆轴的扭角f的大小与扭矩MT及轴的长度L成正比，与横截面的极惯性矩Ip成反比，引入比例常数G 
f为扭角（rad）； G 为材料的切变模量(GPa)。 当扭矩MT 及杆长L一定时，GIp 越大，扭角f就越小，GIp 反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为轴的抗扭刚度。如果两截面之间的扭矩值 有变化，或轴径不同，则应分段计算出相应各段的扭角，然后叠加。 6．4．2扭转时的刚度计算 等直圆轴的刚度条件： qmax为单位长度的最大扭角，单位为rad/m ，而工程上许用单位长度扭角[q]的单位为0/m 。 
注意：对于阶梯轴，因为极惯性矩Ip 不是常量，所以最大单位长度扭角 不一定发生在最大扭矩MTmax 所在的轴段上。要综合考虑扭矩MT和极惯性矩Ip来确定最大单位长度扭角qmax 。 
应用扭转强度条件：校核强度、设计截面和确定许可载荷。 例6-2 图示阶梯轴，直径分别为d1=40mm ，d2=55mm ，已知C轮输入转矩Mec=1432.5Nm ，A轮输出转矩MeA=620.8Nm ，轴的转速n=200r/min ，轴材料的许用切应力[t]=60MPa，许用单位长度扭角[q]=20/m ，切变模量G=80GPa ，试校核该轴的强度和刚度。
解 （1）作扭矩图
MTmax在BC段，但AB段较细。危险截面可能发生在的d1截面处，也可能发生在BC段。 （2）校核强度 AB段
BC段 
轴的强度满足要求。 （3）校核刚度 AB段 
BC段
轴的刚度也满足要求。 |
