第十九讲                                                                                 下一讲

学时:2学时

课题:章 直梁的弯曲  7.3 梁纯弯曲时的强度条件

目的任务:掌握梁的强度条件及其应用

重点:梁的强度条件及其应用

难点:梁纯弯曲时横截面上的正应力 

教学方法:多媒体

作业:7-2、7-4

作业问题:题6-2

 

第七章 直梁的弯曲 

弯矩图

(1)梁受集中力或集中力偶作用时,弯矩图为直线,并且在集中力作用处,弯矩发生转折;

在集中力偶作用处,弯矩发生突变,突变量为集中力偶的大小 。

 

(2)梁受到均布载荷作用时,弯矩图为抛物线,且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致 。

(3)梁的两端点若无集中力偶作用,则端点处的弯矩为0;若有集中力偶作用时,则弯矩为集中力偶的大小。

例7-5 图示简支梁,受集中力FP 和集中力偶M0=FPl 作用,试作此梁的弯矩图。 

 7.3 梁纯弯曲时的强度条件

7.3.1梁纯弯曲(pure bending)的概念Concepts

纯弯曲——梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。

Q = 0,M = 常数。

7.3.2梁纯弯曲时横截面上的正应力 Normal Stresses in Beams

1.梁纯弯曲时的变形特点Geometry of Deformation:

平面假设:

1)变形前为平面变形后仍为平面 

2)始终垂直与轴线 

中性层Neutral Surface:既不缩短也不伸长(不受压不受拉)。

中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。

中性轴Neutral Axis:中性层与横截面的交线。

变形时横截面是绕中性轴旋转的。

2.梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律 

纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。

    由于梁横截面保持平面,所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的,因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。

    以中性轴为界,凹边是压应力,使梁缩短,凸边是拉应力,使梁伸长,横截面上同一高度各点的正应力相等,距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力,中性轴上各点正应力为零

3.梁纯弯曲时正应力计算公式 

在弹性范围内,经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为

    

式中, M为作用在该截面上的弯矩(Nmm); y为计算点到中性轴的距离(mm); IzMoment of Area about Z-axis为横截面对中性轴z的惯性矩(mm4)。

    在中性轴上 y=0,所以s=0 ;当y=ymax 时,s=smax最大正应力产生在离中性轴最远的边缘处,

   

__________横截面对中性轴z的抗弯截面模量(mm3)

    计算时, My均以绝对值代入,至于弯曲正应力是拉应力还是压应力,则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正,受压侧的为负。

    弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的,但对于剪切弯曲的梁,只要其跨度L与横截面高度h之比L/h >5,仍可运用这些公式计算弯曲正应力。

7.3.3惯性矩和抗弯截面模量

简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式

7.3.4梁纯弯曲时的强度条件

对于等截面梁,弯矩最大的截面就是危险截面,其上、下边缘各点的弯曲正应力即为最大工作应力,具有最大工作应力的点一般称为危险点

梁的弯曲强度条件是梁内危险点的工作应力不超过材料的许用应力。 运用梁的弯曲强度条件,可对梁进行强度校核、设计截面和确定许可载荷。

例7-6 在例7-3中的简支梁,若选用D=100mmd=60mm的空心圆形截面钢制造,已知梁的跨度l=3ma=1mb=2m,集中载荷F=25kN,许用正应力[s]=200MPa。 不计梁的自重,试校核该梁的强度。