工程背景Background：

力学模型 model

扭转变形 的特点：

1)受力特点 在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。

2)变形特点 横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。

6．2 扭矩和扭矩图

    首先计算作用于轴上的外力偶矩，再分析圆轴横截面的内力，然后计算轴的应力和变形，最后进行轴的强度及刚度计算。

6．2．1外力偶矩的计算

式中， M e 为外力偶矩 Torque （ N·mm ）；

      P Power 为功率（ kW ）；

      n为转速 Rotational velocity （ r／min ）。

主动轮的输入功率所产生的力偶矩转向与轴的转向相同；

从动轮的输出功率所产生的力偶矩转向与轴的转向相反。

6．2．2圆轴扭转时的内力——扭矩torque

截面法求横截面的内力

规定扭矩的正负（右手螺旋法则）：

以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离开截面，扭矩为正，反之为负。

6．2．3扭矩图

例 输入一个不变转矩Me1 ，不计摩擦，轴输出的阻力矩为Me2 ＝2Me1 ／3，Me3 ＝Me1 ／3，外力偶矩Me1 、Me2 、Me3 将轴

分为AB和BC两段，应用截面法可求出各段横截面的扭矩。

扭矩图 —— 用平行于杆轴线的 x 坐标表示横截面的位置，用垂直于 x 轴的坐标 M T 表示横截面扭矩的大小，描画出截面扭矩随截面位置变化的曲线。

 

6．3 圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算

6．3．1圆轴扭转时横截面上的应力

• 受扭圆轴横截面上有何应力？ 

• 应力如何计算？

应力与变形有关，观察变形：Torsion Shaft Deformation

在小变形的情况下：

（1)各圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离均无变化；各圆周线绕轴线转动了不同的角度。

（2）所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜了同一角度 g 。

扭转变形的平面假设：圆轴扭转时，横截面保持平面，并且只在原地发生刚性转动。

在平面假设的基础上，扭转变形可以看作是各横截面像刚性平面一样，绕轴线作相对转动，由此可以得出：

（1)扭转变形时，由于圆轴相邻横截面间的距离不变，即圆轴没有纵向变形发生，所以横截面上没有正应力。

（2）扭转变形时，各纵向线同时倾斜了相同的角度；各横截面绕轴线转动了不同的角度，相邻截面产生了相对转动并相互错动，发生了剪切变形，所以横截面上有切应力。

根据静力平衡条件，推导出截面上任一点的切应力计算公式

式中， t r 为横截面上任一点的切应力（ MPa ）； M T 为横截面上的扭矩（ N mm ）； r 为欲求应力的点到圆心的距离（ mm ）； I r 为截面对圆心的极惯性矩（ mm 4 ）。 

圆轴扭转时，横截面边缘上各点的切应力最大( r= R )，其值为

式中，Wp 为抗扭截面系数（ mm 3 ）

    极惯性矩与抗扭截面系数表示了截面的几何性质，其大小与截面的形状和尺寸有关。

(1) 实心轴Solid Shaft 设直径为D，则

(2)空心轴Hollow Shaft 设外径为 D ，内径为 d ， a = d / D

6．3．2圆轴扭转时的强度计算

对于阶梯轴，因为抗扭截面系数 W p 不是常量，最大工作应力 t max 不一定发生在最大扭矩M Tmax 所在的截面上。要综合考虑扭矩M T 和抗扭截面系数W p ，按这两个因素来确定最大切应力 t max 。

6．4 圆轴扭转时的变形和刚度计算

6．4．1圆轴扭转时的变形 Torsion Shaft Deformation

扭角Angle of Twist ——圆轴扭转时，任意两横截面产生的相对角位移。

扭角 f 是扭转变形的变形度量。

 

两横截面相距越远，它的扭角就越大。

等直圆轴的扭角 f 的大小与扭矩M T及轴的长度L成正比，与横截面的极惯性矩I p 成反比，引入比例常数G

f为扭角（rad）； G为材料的切变模量(GPa)。

当扭矩M T及杆长L一定时，GI p越大，扭角f就越小， GI p 反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为轴的抗扭刚度。如果两截面之间的扭矩值 有变化，或轴径不同，则应分段计算出相应各段的扭角，然后叠加。

6．4．2扭转时的刚度计算

等直圆轴的刚度条件：最大单位长度扭角小于或等于许用单位长度扭角。

应用扭转强度条件：校核强度、设计截面和确定许可载荷。