7.1 梁的类型及计算简图
7.1.1直梁平面弯曲的概念Concepts
弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。
梁Beam——以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。
弯曲bending
平面弯曲plane bending
7.1.2梁的计算简图
载荷：
（1）集中力 concentrated loads
（2）集中力偶 force-couple
（3）分布载荷 distributed loads
7.1.3梁的类型
(1)简支梁simple supported beam 上图
(2)外伸梁overhanging beam
(3)悬臂梁cantilever beam
7.2 梁弯曲时的内力
7.2.1梁弯曲时横截面上的内力——剪力shearing force和弯矩bending moment
问题：
例7－1 图示的悬臂梁 AB ，长为 l ，受均布载荷 q 的作用，求梁各横截面上的内力。
求内力的方法——截面法
截面法的核心——截开、代替、平衡
内力与外力平衡
解：为了显示任一横截面上的内力，假想在距梁的左端为x处沿m-m截面将梁切开 。
梁发生弯曲变形时，横截面上同时存在着两种内力。
剪力 —— 作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内。
弯矩 —— 位于纵向对称面内。
剪切弯曲 —— 横截面上既有剪力又有弯矩的弯曲。
纯弯曲 —— 梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。
工程上一般梁（跨度 L 与横截面高度 h 之比 L/h ＞5），其剪力对强度和刚度的影响很小，可忽略不计，故只需考虑弯矩的影响而近似地作为纯弯曲处理。
规定：使梁弯曲成上凹下凸的形状时，则弯矩为正；反之使梁弯曲成下凹上凸形状时，弯矩为负。
7.2.2弯矩图bending moment diagrams
弯矩图：以与梁轴线平行的坐标x表示横截面位置，纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小。
例7－2 试作出例7－1中悬臂梁的弯矩图。
解 （1）建立弯矩方程 由例7－1知弯矩方程为
（2）画弯矩图
弯矩方程为一元二次方程，其图象为抛物线。求出其极值点相连便可近似作出其弯矩图。
例7－3 图示的简支梁 AB ，在C点处受到集中力 F 作用，尺寸 a 、 b 和 l 均为已知，试作出梁的弯矩图。
解 （1）求约束反力
（2）建立弯矩方程 上例中梁受连续均布载荷作用，各横截面上的弯矩为x的一个连续函数，故弯矩可用一个方程来表达，而本例在梁的C点处有集中力F作用，所以梁应分成AC和BC两段分别建立弯矩方程。
例7－4 图示的简支梁 AB ，在C点处受到集中力偶 M 0 作用，尺寸 a 、 b 和 l 均为已知，试作出梁的弯矩图。
解 （1）求约束反力
（2）建立弯矩方程 由于梁在C点处有集中力偶M作用，所以梁应分AC和BC两段分别建立弯矩方程。
（3）画弯矩图
两个弯矩方程均为直线方程
总结上面例题，可以得到作弯矩图的几点规律：
（1）梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小 。
（2）梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致 。
（3）梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。
7.3 梁纯弯曲时的强度条件
7.3.1梁纯弯曲(pure bending)的概念Concepts
纯弯曲 —— 梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。
Q = 0，M = 常数。
7.3.2梁纯弯曲时横截面上的正应力 Normal Stresses in Beams
1．梁纯弯曲时的 变形特点 Geometry of Deformation:
平面假设：
1）变形前为平面变形后仍为平面
2）始终垂直与轴线
中性层 Neutral Surface ：既不缩短也不伸长（不受压不受拉）。
中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。
中性轴 Neutral Axis ：中性层与横截面的交线。
变形时横截面是绕中性轴旋转的。
2．梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。
由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。
以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零 。
3．梁纯弯曲时正应力计算公式
在弹性范围内，经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为
式中， M 为作用在该截面上的弯矩（ Nmm ）； y 为计算点到中性轴的距离（ mm ）； Iz Moment of Area about Z-axis 为横截面对中性轴z的惯性矩（ mm 4 ）。
在中性轴上 y = 0 ，所以 s = 0 ；当 y = y max 时， s = s max 。
最大正应力产生在离中性轴最远的边缘处，
Wz横截面对中性轴 z 的抗弯截面模量( mm 3 )
计算时， M 和 y 均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是压应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。
弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的，但对于剪切弯曲的梁，只要其跨度 L 与横截面高度 h 之比 L/h ＞5，仍可运用这些公式计算弯曲正应力。
7.3.3惯性矩和抗弯截面模量
简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式
7. 3.4梁纯弯曲时的强度条件
对于等截面梁，弯矩最大的截面就是危险截面，其上、下边缘各点的弯曲正应力即为最大工作应力，具有最大工作应力的点一般称为 危险点 。
梁的弯曲强度条件是 ： 梁内危险点的工作应力不超过材料的许用应力。
运用梁的弯曲强度条件，可对梁进行强度校核、设计截面和确定许可载荷。
7.4 提高梁强度的主要措施
提高梁强度的主要措施是：
1）降低弯矩 M 的数值 2)增大抗弯截面模量 W z 的数值
7.4.1降低最大弯矩 M max 数值的措施 1．合理安排梁的支承
2．合理布置载荷
7.4.2合理选择梁的截面
1．形状和面积相同的截面，采用不同的放置方式，则 Wz 值可能不相同
2．面积相等而形状不同的截面，其抗弯截面模量 Wz 值不相同
3．截面形状应与材料特性相适应
7.4.3采用等强度梁
对于等截面梁，除 M max 所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外，其余截面的应力均小于，甚至远小于许用应力。
为了节省材料，减轻结构的重量，可在弯矩较小处采用较小的截面，这种截面尺寸沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。
等强度梁 ——使变截面梁每个截面上的最大正应力都等于材料的许用应力，则这种梁称之。
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