空间力系——各力的作用线不在同一平面内的力系。

3.1 力的投影和力对轴之矩

3.1.1力在空间直角坐标轴上的投影  

1.一次投影法

设空间直角坐标系的三个坐标轴如图所示，已知力 F 与三个坐标轴所夹的锐角 , 则力 F 在三个轴上的投影等于力的大小乘以该夹角的余弦，即

2.二次投影法 

    有些时候，需要求某力在坐标轴上的投影，但没有直接给出这个力与坐标轴的夹角，而必须改用二次投影法。

反过来，若已知力在三个坐标轴上的投影Fx、Fy、Fz，也可求出力的大小和方向，即

例3-1 斜齿圆柱齿轮上 A 点受到啮合力 F n 的作用， F n 沿齿廓在接触处的法线方向，如图所示。 a n 为压力角， β 为斜齿轮的螺旋角。试计算圆周力 F t 、径向力 F r 、轴向力 F a 的大小。

解 建立图示直角坐标系Axyz,先将法向力 F n 向平面Axy投影得 F xy ，其大小为

F xy =F n cos a n  

向z轴投影得径向力

F r =F n sin a n  

然后再将 F xy 向 x、y 轴上投影，如图所示。因 q =β ，得

圆周力                                F t =F xy cos β =F n cos a n cos β

轴向力                                F a =F xy sin β =F n cos a n sin β

3.1.2力对轴之矩

  在平面力系中，建立了力对点之矩的概念。力对点的矩，实际上是力对通过矩心且垂直于平面的轴的矩。

以推门为例，如图所示。门上作用一力 F ，使其绕固定轴z转动。现将力 F 分解为平行于z轴的分力 F z 和垂直于z轴的分力 F xy （此分力的大小即为力 F 在垂直于z轴的平面A上的投影）。由经验可知，分力 F z 不能使静止的门绕z轴转动，所以分力F z 对z轴之矩为零；只有分力 F xy 才能使静止的门绕z轴转动，即 F xy 对z轴之矩就是力 F 对z轴之矩。现用符号 M z（ F ）表示力 F 对z轴之矩，点O为平面A与z轴的交点， d 为点O到力 F xy 作用线的距离。因此力 F 对z轴之矩为

式表明：力对轴之矩等于这个力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与平面交点之矩。力对轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度量，是一个代数量。其正负号可按下法确定：从z轴正端来看，若力矩逆时针，规定为正，反之为负。

    力对轴之矩等于零的情况：（1）当力与轴相交时（此时d=0）；（2）当力与轴平行时。

3.1.3合力矩定理

    如一空间力系由 F 1 、 F 2 、…、 F n 组成，其合力为 F R ，则可证明合力 F R 对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。写为

3.2空间力系的平衡

3.2.1空间力系的简化

力偶矩矢

设物体上作用空间力系 F 1 、 F 2 、…、 F n ，如图所示。与平面任意力系的简化方法一样，在物体内任取一点 O 作为简化中心，依据力的平移定理，将图中各力平移到 O 点，加上相应的附加力偶，这样就可得到一个作用于简化中心 O 点的空间汇交力系和一个附加的空间力偶系。将作用于简化中心的汇交力系和附加的空间力偶系分别合成，便可以得到一个作用于简化中心 O 点的主矢 F' R 和一个主矩 M O 。

3.2.2空间力系的平衡方程及其应用

    空间任意力系平衡的 必要与充分条件 是：该力系的主矢和力系对于任一点的主矩都等于零。即 F' R ＝ 0 ， M O ＝ 0 ，则

由上式可推知，

    空间汇交力系 的平衡方程为： 各力在三个坐标轴上投影的代数和都等于零 。

    空间平行力系 的平衡方程为：各力在某坐标轴上投影的代数和以及各力对另外二轴之矩的代数和都等于零。

3.3 空间力系平衡问题的平面解法

    当空间任意力系平衡时，它在任意平面上的投影所组成的平面任意力系也是平衡的。因而在工程中，常将空间力系投影到三个坐标平面上，画出构件受力图的主视、俯视、侧视等三视图，分别列出它们的平衡方程，同样可解出所求的未知量。这种 将空间问题转化为平面问题 的研究方法，称为 空间问题的平面解法 。这种方法特别适用于受力较多的轴类构件。

例3-3 带式输送机传动系统中的从动齿轮轴如图所示。已知齿轮的分度圆直径d=282.5mm，轴的跨距L=105mm，悬臂长度L 1 =110.5mm，圆周力F t =1284.8N，径向力F r =467.7N，不计自重。求轴承A、B的约束反力和联轴器所受转矩M T 。

解（1）取从动齿轮轴整体为研究对象，作受力图。

（2）作从动齿轮轴受力图在三个坐标平面上的投影图。

（3）按平面力系（三个投影力系）列平衡方程进行计算